요새 변환광학과 관련되어 Hamiltonian optics가 요새 다시 부각되고 있

는듯 한데, 이에 대한 이해를 돕기 위해 기본적 사항들만 말해본다면,


photon(particle)은 시간(또는 다른 매개파라미터)에 따른 위치와 운동량

(파벡터)

의 관계가 음함수적 관계로 정해질 수 있습니다.

예를 들면, dispersion relation 같은

H(x,k,w)=det( (c/w)^2*(|k|^2*I-kk^t) - epsil(x))=0  --- (1)

이를 좀더 explicit 하게 풀면

w(x,k)=w0 과 같은 form이 됩니다.   --- (2)

어찌되었건, photon이 ray-path 구간에서 invariant 한 함수만 정해지면 이는 hamiltonian입니다.

그래서 물리문제를 풀때 사람들이 그 물리시스템의 " invariant term" 부터 먼저 찾아보는 것이지요. 이것

이 hamiltonian이니까.

일반적으로, energy conservation이 lossless medium에서는 성립하니까 photon 또는 particle의

총에너지가 hamiltonian으로 많이 쓰이긴 하지만, 좀 더 일반적으로는 꼭 에너지에 국한될 필요는 없습니다.

particle의 위치와 운동량의 관계를 나타내는 invariant 양이면 hamiltonian이 될 수 있습니다.


식 (1)에서 매개변수 t로 미분하면 (주파수는 상수라고 한다. photon의 에너지는 상수라고 놓는것)

dH/dt=rH/rx*dx/dt + rH/rk*dk/dt = 0

따라서,  아래의 ray-tracing equation을 얻을 수 있다. 이는 1차 coupled wave equation 풀때 많이 사용하는 Runge-Kutta 4차 방법 사용하면 stable한 ray-path를 구할 수 있습니다.

dx/dt=f(x,k)*rH/rk        --- 3(a)                (보통은 f(x,k)=1로 놓고 하면 됨)
dk/dt=-f(x,k)*rH/rx        --- 3(b)


식(2)가 explicit하게 얻어지는 경우 식(2)는 ray-path에 대해 invariant 하니까

dw/dt=rw/rx*dx/dt + rw/rk*dk/dt=0

마찬가지로

dr/dt=rw/rk                ---- 4(a)
dk/dt=-rw/rx                ---- 4(b)

로 ray-path를 구해도  식(3)에서 얻은 ray-path와 동일한 path가 구해집니다.

식(4)는 식 (3)에서  f(x,k)=-rw/rH 를 식 (3)에 대입하면 바로 얻을 수 있습니다.

문제에 따라 편리한 hamiltonian을 사용하면 되지만,

광학에서는 대부분 dispersion relation을 hamiltonian으로 사용합니다.


요새 많이 인용되는 논문인

D. Schurig, J. B. Pendry, D. R. Smith의

"Calculation of material properties and ray tracing in transformatio media"

라는 논문을 (혹시라도) 읽을 때 위의 사항을 숙지해서 읽으면 좋겠습니다.


참고로, 위 논문 보면.

일적인 inhomogeneous anisotropic media

( transformation-optical designed media) 에서는 ray-path가 degenerate되어 있다고

말하는데 이에 대한 일반적 증명이 필요한 것 같습니다.

다른 학생들이 증명을 한번 올려보면 어떨까요?

(내가 시간나면 해서 세미나 게시판에 첨부하겠습니다.)