A comment on the planar aperture diffraction

김휘 2008.05.31 08:02 조회 수 : 16226 추천:428


회절 광학에서 가장 기본이 되는 것은 planar aperture diffraction
에 대한 해석입니다.

Planar aperture diffraction의 mathematical formulation은
Kirchhoff, Rayleigh, Sommerfeld, Schwinger, Levine, Stratton, Chu,
Jackson, Bethe, Bowkamp, Smythe,Drezet, Woehl, Huant 등의 학자들에 의해 연구되었습니다.

mathematical formulation은 scalar form과 vector form이 있는데
scalar form의 exact integral equation은 scalar Kirchhoff integral equation vector form의 exact integral equation은 vector Kirchhoff integral equation(Jackson 3ed)있습니다. vector Kirchhoff integral equation은 stratton & chu에 의해 풀기쉬운 꼴로 정리되었기 때문에 stratton & chu equation이라고 합니다.


먼저, scalar solution에 대해 이야기 좀 해보겠습니다.
교과서(Goodman, Jackson)에 잘 나와있듯이, free space의 기본 green function G=exp(j*k*r)/(4*pi*k*r)을 사용해서 scalar Kirchhoff equation을 풀면 Kirchhoff diffraction integral을 얻게 되는데, 계산이 가능하려면 aperture를 제외한 perfect conduct screen 영역에서 광파분포 U가 U=0와 dU/dn=0 이어야 하고 이는 포앙카레 정리에 위배되어 Kirchhoff diffraction integral은 misconsistency를 갖게 됩니다.

이러한 문제를 해결하기 위해서, Sommerfeld는
Dirichlet Green function
Gd=(exp(j*k*r)/(4*pi*k*r) - exp(j*k*r')/(4*pi*k*r') )
와 Neumann Green function
Gn=(exp(j*k*r)/(4*pi*k*r) + exp(j*k*r')/(4*pi*k*r') )
을 고안해서 포앙카레 정리에 위배됨이 없는 1st, 2nd Rayleigh-Sommerfeld diffraction integral을 유도하게 됩니다.

이러한 테크닉은 vector Kirchhoff integral equation을 풀때도 그대로 적용되는데 만약 Kirchhoff 스타일로 stratton & chu equation을 풀면
일반 free space Green dyadic G_dyadic(Principle of nano optics, L. Novotny)을 쓰면서 scalar일때와 마찬가지로 포앙카레 정리를 위배하게 되고 Sommerfeld 스타일로 할땐 Dirichlet Green dyadic 이나 Neumann Green dyadic을 써서 수학적으로 올바르게 잘 알려진 vector diffraction integral formulation인 'Smythe formula' (Jackson)으로 귀결될 수 있습니다.

이제, 이야기하고 싶은 본론으로 들어가보겠습니다.

생각해 볼 것은 위의 문제들을 풀 때 관심 closed volume area의 표면을 z=0에 놓인 aperture screen을 포함하여 언제나 z>0인 영역에 잡는다는 것인데, 이는 planar aperture 구조를 'diffraction problem'으로 보는 고전적인 접근법에서 그러한 것입니다. 회절문제에서는 z<0인 부분의 반사 field, 다시 말하면 back scattering field에 대해서는 관심이 없기 때문에 closed volume area를 z>0인 영역에만 잡은 것이죠.

위에서 말한바와 같이 이러한 회절문제접근법에서는 일반 Green function을 사용할 때 Kirchhoff 처럼 포앙카레 정리에 위배되는 상황이 발생한다는 것입니다. Sommerfeld가 똘똘한 것은 이 문제를 물리적이 아니라 수학적으로 극복했다는 점이고요.

그런데, Schwinger와 Levin이 양자역학에서의 scalar diffraction 문제를 다룰 때 좀 더 특이한 접근을 했습니다. 사실 양자역학에서는 diffraction 이라는 말을 쓰지 않습니다. 늘, scattering 이라는 말을 사용하지요.일반적으로 회절은 z>0인 영역만, 산란은 z>0 및 z<0인 전공간의 field를 모두 고려하는 개념이니 회절문제는 산란문제의 특수한 경우입니다. 따라서 산란문제를 푸는 방식으로 회절문제를 풀어도 같은 답을 얻을 수 있습니다.

Schwinger와 Levine이 양자 역학에서 scattering 문제를 풀 때 사용한 방법은 일반 Green function G=exp(j*k*r)/(4*pi*k*r)를 사용하면서 z>0인 부분의 closed volume과 z=0인 부분의 스크린을 제외한 전공간
( A. Drezet, J. C. Woehl, S. Huant, Diffraction of light by a planar aperture in a metallic screen J. Math. Phys. 47, 072901 (2006) )

의 closed volume을 적분영역으로 한 두개의 integral equation을 사용하여 이들로 부터 z>0 영역에서의 scattering field를 구하는 방식입니다.
그런데, 훌륭한 것은 이렇게 해서 얻은 solution에서는 포앙카레 정리를 위배하는 문제가 없으면서 동시에 해가 Rayleigh-Sommerfeld formula와 일치한다는 것입니다.

즉, Sommerfeld가 회절문제의 관점에서 수학적 모순을 없애기 위해 Gd와 Gn과 같이 특이하게 생긴 Green function을 일부러 만들어서 수학적인 방식으로 문제를 풀었다면 Schwinger와 Levine은 산란문제의 관점에서 특별한 수학적 트릭없이 정상적인 물리적인 방법으로 올바른 해를 이끌어냈다는 것입니다. closed voluem을 전공간으로 잡는
산란 문제의 관점이 좋은 부분인 것이죠.

Schwinger와 Levin의 산란문제 접근법으로 Drezet, Woehl, Huant는 vector diffraction 문제로 잘 확장시켰습니다. 즉, Schwiner integral surface를 사용해서 stratton & chu equation으로 부터 단순 green function G를 사용하여 모순없이 Smythe formula를 유도하는 과정을 논문에서 보여줬습니다.

물론 공식을 처음 유도한 Smythe가 더 훌륭하지만, 그 과정을 산란관점에서 보다 세련되게 보여준 Drezet의 해석논문도 고전회절이론을 공부하는데 필수적인 내용이라는 생각이 듭니다. 교과서(Goodman, Jackson)에 소개된 회절이론에 대해서 좀 더 깊이 이해보자는 취지에서 짧은 글을 올려봅니다.


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